Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen

Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen

Ruijter, M.J.

Oosterlee, C.W. (mentor)

Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science

2008-07-03

Op optiemarkten en beurzen wordt gehandeld in aandelen en opties. Er zijn heel veel verschillende soorten opties, de bekendste zijn waarschijnlijk de Europese calloptie en putoptie. Dit zijn opties die de houder de mogelijkheid geven om op een bepaald tijdstip in de toekomst aandelen te kopen, respectievelijk te verkopen, voor een van tevoren vastgestelde prijs. In dit bachelorproject wordt vooral gekeken naar de calloptie en een combinatie van de call- en putoptie. Het model van Samuelson voor het verloop van de aandeelprijs geeft een manier om een faire optieprijs te berekenen. Dit leidt tot de bekende Black-Scholes vergelijking. Dit model gaat er echter vanuit dat er geen grote sporadische sprongen in de aandeelprijs voorkomen. In praktijk blijken deze sprongen wel degelijk voor te komen. We zullen bekijken hoe we een model kunnen opstellen voor het beschrijven van de aandeelprijs met sprongen. Dit leidt tot het model van Merton. Vervolgens kunnen we aan de hand van dit model een partiele integro differentiaal vergelijking opstellen voor het prijzen van de opties. Deze vergelijking kan numeriek worden opgelost. Na het prijzen van de opties gaan we het hedgen van opties onderzoeken. Er volgt nu een korte voorbeeld over was hedgen inhoudt. Wanneer je alleen putopties bezit, loop je het risico dat de aandeelprijs omhoog gaat en je verlies lijdt. Je wilt geen groot risico lopen en kunt door ook aandelen te kopen ervoor zorgen dat de totale waarde van de putopties plus aandelen niet heel veel stijgt of daalt als de aandeelprijs verandert. Dit heet hedgen. Het is het combineren van aandelen en opties om ervoor te zorgen dat het risico vermindert. We zullen onder andere onderzoeken hoe goed we kunnen hedgen wanneer de aandeelprijs sprongen vertoont en of het zin heeft om met meer verschillende soorten opties te hedgen. De opbouw van dit verslag ziet er als volgt uit. In hoofdstuk 3 staat een introductie over aandelen en opties. Daarna gaan we de aandeelprijs onder de loep nemen. In hoofdstuk 4 wordt gekeken naar het model van Samuelson voor de aandeelprijs zonder sprongen en het model van Merton met sprongen in de aandeelprijs. Ook staat er beschreven hoe we deze aandeelprijspaden kunnen simuleren. De processen waarmee de aandeelprijs zich in de twee modellen beweegt zijn Levy processen. Deze processen en eigenschappen ervan worden ook in hoofdstuk 4 besproken. In hoofdstuk 5 beginnen we met het opstellen van een hedgeportfolio. Hiermee leiden we vergelijkingen af voor de optieprijs. Uit de Feynman-Kac stelling volgt een manier om deze optieprijs te berekenen. Hiervoor wordt een Fouriertransformatie-methode gebruikt en een snel algoritme dat hierbij wordt gebruikt is het FFT-algoritme. Een foutschatting voor deze methode voor het prijzen van opties staat aan het einde van dit hoofdstuk. In hoofdstuk 6 zullen we verder ingaan op hedgeportfolio's. We zullen verschillende hedgestrategieen testen en beoordelen. Ook willen we weten wat de voor- en nadelen zijn van hedgen met sprongen in de aandeelprijs. Tenslotte volgen in hoofdstuk 7 een conclusie en suggesties voor verder onderzoek.

options

http://resolver.tudelft.nl/uuid:a940c36f-c981-4cf8-b091-c23d1192cc57

TU Delft, Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science, Delft Institute of Applied Mathematics

Student theses

bachelor thesis

(c) 2008 M.J. Ruijter