A multivariate analogue of Ruijsenaars's generalised hypergeometric function: A quantum algebra approach

In this thesis, we derive a multivariate analogue of Ruijsenaars’s 2F1-generalisation R. We use Hopf algebra representation theory of the modular double of sl.2/, a Hopf algebra structure strongly related to quantum groups, to relate the function R to overlap coefficients of eigenfunctions. Using properties of the algebra and the representation,...

Classification of finite-dimensional modules over semisimple Lie algebras

Sophus Lie (1842-1899) known as the founder of the theory of transformation groups, originally aimed to study solutions of differential equations via their symmetries. Over the decades this theory has evolved into the theory of Lie groups. These Lie groups are of an analytic and geometric nature, but Sophus Lie's principal discovery was that...

A Combinatorial Proof of Wigner’s Semicircle Law

A combinatorial proof of Wigner’s Semicircle Law for the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) is presented in this report. The distribution of eigenvalues of different samples of general Wigner matrices is shown to converge to the semicircle distribution, with the aid of histograms created in Python. The type of convergence that is shown is that of...

Multivariate generalisations of classical hypergeometric polynomials from Lie theory

In this thesis, we will be studying Lie groups and their connection to certain orthogonal polynomials. We will look into the classical Krawtchouk, Meixner and Laguerre polynomials, and the multivariate Krawtchouk and Meixner polynomials as defined by Iliev. Using representations of the Lie groups SU(2) and SU(1,1), it will be shown that the...

Een analytische en algebraïsche beschouwing van de Wilson- en Racahpolynomen

De Wilson- en Racahpolynomen zijn hypergeometrische orthogonale polynomen die helemaal bovenaan staan in het Askey-schema. Deze polynomen zijn de meest algemene hypergeometrische orthogonale polynomen in één variabele en generaliseren de andere hypergeometrische orthogonale polynomen in het Askey-schema.<br/><br/>In deze scriptie wordt ingegaan...

Representation theory of SU(2) and SU(3) with applications to spin and quark models

In this thesis we provide an elementary introduction in finite dimensional representation theory of the Lie groups SU(2) and SU(3) for undergraduate students in physics and mathematics. We will also give two application of representation theory of these two groups in physics: the spin and quark models. We begin with first discussing...

Fourier analysis on finite groups and the irreducible representations of the symmetric group

In this paper we will naturally extend the concept of Fourier analysis to functions on arbitrary groups. We will generalise the idea of a convolution and try to find a formula for Fourier coefficients in such way that the coefficients of the convolution can easily be calculated. In the first section we will start off in familiar territory as we...

Quantum groups and Askey-Wilson polynomials

In this thesis, we introduce the quantum groups Uq(SL(2,C)) and Aq(SL(2,C)) as Hopf algebras. We study their representations, including their similarities and differences with the classical theory. We show that the eigenvectors of Koorwinder's twisted primitive elements of Uq(SU(2)) are dual q-Krawtchouk polynomials. We use this explicit...

Irrationaliteit van ζ(3): Een toepassing van Padé-benaderingen

Dit verslag behandelt een bewijs gegeven door Apéry (1977) dat ζ(3) een irrationaal getal moet zijn. Voor even waarden van de Riemann-Zéta functie kennen we de uitkomst. Echter is het zo dat die voor de meeste oneven waarden niet algebraïsch bepaald zijn. Een vraag die dus onbeantwoord was is of ze irrationaal zijn. Voor ζ(3) is dit bewezen. Dit...

De Hankeltransformatie via de Cherednik algebra: The Hankel transform via the Cherednik algebra

In deze Bachelorscriptie bestuderen we een integraaltransformatie welke een generalisatie is van de Fouriertransformatie, deze integraaltransformatie wordt de Hankeltransformatie genoemd. Allereerst bestuderen we de symmetrische variant waarna we overstappen op de niet-symmetrische Hankeltransformatie. We gaan de niet-symmetrische...

Bolfuncties in Rn: Spherical harmonics in Rn

In de wiskunde hebben we bij het modelleren van fysische problemen vaak te maken met randwaardeproblemen. Voor een randwaardeprobleem met een cirkel als rand en een L2- functie als randvoorwaarde, kan deze randvoorwaarde beschreven worden door een Fourierreeks. Hierdoor kan zo'n randwaardeprobleem makkelijker opgelost worden. In dit werk wordt...

Jacobi polynomen en representaties van SU(2)

In deze scriptie beginnen we met het opbouwen van wat algemene Lie-theorie. Om dat te doen leggen we eerst uit wat variëteiten zijn. Ook zullen we enkele eigenschappen van matrix Lie groepen en Lie algebra's bestuderen. Daarna definiëren we Jacobi polynomen door middel van hypergeometrische reeksen. Ook zullen we een aantal eigenschappen van...

The Ruijsenaars Function Transform