Het is mogelijk om een bal in vijf stukken te verdelen, welke na draaien en verplaatsen weer bij elkaar te zetten zijn in twee ballen identiek aan de eerste. Dit resultaat is in 1924 door Stefan Banach en Alfred Tarski bewezen, en laat zien dat er geen goede volume-afbeelding te defini¨eren is op alle deelverzamelingen van R3. Dit onverwachte resultaat ondervond in het begin veel weerstand vanwege het gebruik van het keuzeaxioma, maar wordt tegenwoordig alom geaccepteerd. Verdeeld over drie hoofdstukken bouwen we de achterliggende theorie van de grond af op om uiteindelijk de Banach-Tarski paradox te bewijzen. We bespreken daarna de oorzaak en de implicaties van de paradox. Ten slotte zullen we de rol van het keuzeaxioma nog behandelen. Het boek van Stan Wagon is als basis gebruikt voor een groot deel van de theorie. Verder heb ik ook veel inzicht gekregen door de originele artikelen van Hausdorff en Banach en Tarski te bestuderen. Met behulp van deze bronnen is dit op zich zelf staande verslag samengesteld.