Het effect van een anisotropiecoëfficiënt in de Poissonvergelijking op de convergentie van de CG-methode en de ICCG(0)-methode
W.S. Gorter (TU Delft - Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science)
C. Vuik – Mentor
A.W. Heemink – Graduation committee member
B. van den Dries – Graduation committee member
More Info
expand_more
Other than for strictly personal use, it is not permitted to download, forward or distribute the text or part of it, without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license such as Creative Commons.
Abstract
Allerlei diffusieverschijnselen in de natuurkunde kunnen omschreven worden
met de Poissonvergelijking op een gebied met te kiezen randvoorwaarden. Er zijn echter ook verschijnselen waarin er een gelaagdheid optreedt zodat er in verticale
richting minder makkelijk diffusie kan plaatsvinden. Dit leidt tot een vergelijking
met toevoeging van een anisotropiecoëfficiënt epsilon, die dicht bij 0 ligt.
Via (onder andere) de Finite Volume Method kunnen deze vergelijkingen
gediscretiseerd worden, wat leidt tot een stelsel Au = f. Hierbij is A symmetrisch
en positief deniet (alle eigenwaarden zijn positief). Er zijn talloze
methoden om dit stelsel op te lossen. Een hiervan is de CG-methode, een
iteratieve methode, met als uitbreiding de ICCG(0)-methode. De convergentie
van de CG-methode blijkt af te hangen van de eigenwaarden van de
matrix A. Hoe dichter de eigenwaarden bij elkaar liggen, hoe sneller de
convergentie. De geschaalde eigenwaarden1 van A liggen min of meer geconcentreerd
rond 1. Het is voor een snelle convergentie van belang dat de
kleinste eigenwaarden niet al te dicht bij 0 liggen. Dit leidt namelijk tot
trage convergentie. Er zijn manieren om de eigenwaarden dichter bij elkaar
te brengen. We noemen dat preconditionering. De ICCG(0)-methode is een
vorm van preconditionering en zorgt er (onder andere) voor dat de kleinste
eigenwaarden dichter bij 1 komen te liggen. In dit onderzoek wordt onderzocht
wat er gebeurt met de eigenwaarden, zowel in de CG-methode als in
de ICCG(0)-methode, als de anisotropiecoëfficiënt heel klein wordt. Het
blijkt dat de ondergrens voor de eigenwaarden van A lineair afhankelijk is
van epsilon. Dit leidt tot een zeer trage convergentie van de CG-methode in het
geval epsilon klein is. Er blijkt echter ook dat preconditionering met behulp van
de ICCG(0)-methode voldoende is om de ondergrens voor de eigenwaarden
onafhankelijk te maken van epsilon. Dit betekent dat ook in situaties waarin
anisotropie optreedt, ICCG(0) een geschikte methode is om de vergelijking
Au = f op te lossen.