Verschillen tussen alef-nul en alef-één

Abstract

De 'grootte' van een verzameling staat in de wiskunde bekend onder de term 'kardinaliteit'. Omdat de kardinaliteit van de natuurlijke getallen niet met een eindig natuurlijk getal n kan worden aangetoond, is de kardinaliteit van deze verzameling uniek gedefinieerd als alef-nul. Met dank aan Cantor’s bewijs voor de stelling dat de verzameling reële getallen overaftelbaar is, weet men dat er verzamelingen bestaan met kardinaliteit groter dan alef-nul. De eerstvolgende verzameling die groter is dan de verzameling natuurlijke getallen geven we kardinaliteit alef-één. 
Vanzelfsprekend zijn er voor verzamelingen met kardinaliteit alef-nul talloze mooie stellingen geformuleerd en bewezen. Deze stellingen kunnen eenvoudig worden uitgebreid naar verzamelingen met kardinaliteit alef-één, door de term 'eindig' in 'oneindig' te veranderen en 'aftelbaar' in 'overaftelbaar'. Het valt echter op dat sommige stellingen die gelden voor verzamelingen met kardinaliteit alef-nul niet meer gelden nadat ze zijn uitgebreid naar verzamelingen met kardinaliteit alef-één. Het kan ook gebeuren dat een stelling juist wel in het overaftelbare geval geldt, maar niet in het aftelbare geval. In dit verslag zullen een aantal dergelijke stellingen aan bod komen.