Topologische Tegenvoorbeelden

Abstract

In dit verslag bekijken we zes topologische tegenvoorbeelden. Eerst bestuderen we de topologie van Appert. Deze topologie is gedefinieerd op een aftelbare verzameling, maar heeft overaftelbaar veel open verzamelingen. In de ruimte van Appert zijn de triviale rijtjes de enige rijtjes die convergeren. De ruimte is separabel, maar voldoet niet aan het tweede aftelbaarheidsaxioma.
Het is bekend dat elke aftelbare reguliere ruimte normaal is en dus `veel' continue functies naar het eenheidsinterval heeft. Daarom is een aftelbare reguliere ruimte niet samenhangend. Dit geldt echter niet voor aftelbare Hausdorff ruimten. We bestuderen een ruimte die aftelbaar Hausdorff is én samenhangend. Deze ruimte heet Gustin's rijruimte.
Daarna bekijken we een andere samenhangende ruimte: de topologische sinus-kromme. Deze is niet compact, maar we kunnen de ruimte uitbreiden en er een compacte ruimte van maken. We zien in dit hoofdstuk dat niet elke kromme padsamenhangend is. Dus samenhang impliceert niet altijd padsamenhang.
De vierde ruimte die we bestuderen is Van Douwen's ruimte. Deze is regulier en $T_1$. Elke continue reëelwaardige functie in deze ruimte is constant.
Verder bekijken we een overaftelbaar product van normale ruimten, waarvan de productruimte zelf niet normaal is. Of het product separabel is of niet, hangt af van de `grootte' van het product.
Tot slot nog een productruimte: de ruimte van Helly. Dit product is wel normaal, maar bevat een niet-normale deelruimte. We zullen namelijk zien dat de ruimte compact Hausdorff is en een deelruimte heeft die homeomorf is met de Sorgenfreylijn. De ruimte voldoet aan het eerste maar niet aan tweede aftelbaarheidsaxioma. De ruimte is wel separabel.