Kardinaalgetallen en het gedrag van de 2-machtsfunctie

Abstract

Deze scriptie valt binnen de verzamelingenleer en zal hiervan theorieën behandelen die uiteindelijk zullen resulteren in de stelling van Silver. In het eerste hoofdstuk wordt de theorie van de ordinaalgetallen behandeld. We zullen zien wat deze zijn en wat voorbeelden bekijken. De meest belangrijke eigenschappen van ordinaalgetallen komen aan bod. In hoofdstuk twee worden kardinaalgetallen geïntroduceerd. Ook hierbij behandelen we eerst de definitie en een aantal voorbeelden. We zullen zien hoe je rekenkunde kan bedrijven met deze kardinaalgetallen. Ten slotte catagoriseren we de kardinaalgetallen in regulier en singulier en zullen we een aantal stellingen over kardinalen beschouwen. In het derde hoofstuk zal uiteindelijk de stelling van Silver bewezen worden. Hiervoor zal echter eerst wat theorie over Omega1 behandeld worden. Hierbij definiëren we zowel gesloten en onbegrensde- als stationaire deelverzamelingen van Omega1. Na een aantal stellingen over deze deelverzamelingen wordt het bewijs van Silver gestipuleerd en bewezen. We zullen afsluiten met twee generalisaties van de stelling.