Een numerieke methode voor niet-lineaire vrije oppervlaktegolven opgesteld met de randelementenmethode en een conforme afbeelding

Abstract

Voor het oplossen van niet-lineaire vrije oppervlakteproblemen in 2 dimensies is een numerieke methode uitgewerkt, die voor de ruimtelijke discretisatie gebruik maakt van de Rand Elementen Methode: REM. Deze methode is gebaseerd op de 2e stelling van Green en de logaritmische potentiaal als fundamentele oplossing, zodat een potentiaalprobleem voor een bepaald domein, over gaat in een integraal vergelijking voor de rand van dat domein. Door een elementenverdeling voor de rand aan te brengen en de randwaarden over de elementen constant te veronderstellen, ontstaat een stelsel lineaire vergelijkingen. Toepassing van de REM voor de rand van het fysische gebied voor niet-lineaire golven heeft als nadeel, dat de matrix van het stelsel lineaire vergelijkingen per tijdstap moet worden opgebouwd en 'geinverteerd', vanwege de niet-lineaire en tijdsafhankelijke randwaarden op de vrije rand. Door nu het fysisch gebied af te beelden op een in de tijd vast rekengebied, onstaat de mogelijkheid om m.b.v. van de REM voor zowel de transformatie als het getransformeerde potentiaalprobleem stelsels lineaire vergelijkingen op te bouwen, waarvan de matrices constant in de tijd blijven. De transformatie die hiervoor in aanmerking komt is de conforme afbeelding vanaf de cirkel, waarbij we ons beperken tot periodieke niet-lineaire golven over een oneindige diepte. De numerieke conforme afbeelding vanaf de cirkelrand wordt geconstrueerd m.b.v. de Newton-Raphson iteratie en de REM. Evenzo wordt het (getransformeerde) potentiaalprobleem in de cirkel verdiscretiseerd met de REM. De gehele methode is uitgewerkt voor de bepaling van het golfprofiel van lopende periodieke niet-lineaire golven. Echter de matrix van het resulterende stelsel lineaire vergelijkingen voor de numerieke conforme afbeelding is niet constant in de tijd en tevens is dit stelsel overbepaald. Bovendien bleek dat de discrete punten op de vrije rand uit elkaar werden getrokken ter plaatse van de golftop, zodat de gehele numerieke methode ongeschikt is om het profiel van sterk niet-lineaire periodieke golven weer te geven.