This thesis explores the mathematical foundations of quantum measurements for relativistic particles, focusing on the construction of positive operator-valued measures (POVMs) within the framework of functional analysis. Motivated by recent developments in mathematical physics, particularly the construction of a POVM for a onedimensional relativistic massless particle, we develop an analogous POVM for a relativistic particle with mass. The mathematical framework is firmly grounded in the Tomita-Takesaki modular theory, and its connection to Connes-Rovelli thermal time is established.
A central component of the thesis is a detailed, self-contained proof of Tomita’s theorem, a cornerstone result in the modular theory of von Neumann algebras. This theorem plays a critical role in understanding the structure of operator algebras associated with quantum systems and underpins the rigorous formulation of covariant observables. Furthermore, it is of crucial importance to formulating Rovelli’s thermal time hypothesis.
Building upon this theoretical groundwork, we construct a POVM for a relativistic massive particle in one spatial dimension. The resulting POVM satisfies temporal covariance relations and provides a mathematically consistent description of time measurements for massive particles, addressing key challenges in quantum field theory. The thesis concludes by relating the newly found time observable to Connes-Rovelli thermal time.

In dit artikel kijken we naar het uitbreidingsprobleem voor continue selecties.
Het uitbreidingsprobleem in het algemeen vraagt of, gegeven een domein, elke
continue functie op een gesloten deelverzameling van dat domein, uitgebreid
kan worden tot een continue functie op heel het domein. We kijken in dit
artikel echter in het bijzonder naar selecties. Selecties zijn functies waarvan
hun deffinitie afhangt van een zekere multifunctie. Wat het preciese verband is
tussen multifuncties en selecties wordt later uitgelegd, maar kort geformuleerd
is een multifunctie een functie die punten van een verzameling A afbeeldt op
deelverzamelingen van een verzameling B. Een selectie is vervolgens een functie
die respectievelijk punten uit verzameling A afbeeldt op punten uit verzameling
B. Het idee van dit nieuwe uitbreidingsprobleem op multifuncties en selecties is om het vraagstuk te veralgemenen voor zekere beperkingen van de functies die we willen uitbreiden. We vragen ons af of een functie uit te breiden is waarbij wordt geëist dat elk beeld van deze functie in een voorgeschreven deelverzameling van het codomein ligt. Duidelijk is dan dat een vereiste functie die uit te breiden is ook in het algemeen uit te breiden is.