Due to their attractive characteristics, convertible and callable bonds became a more important class of fixed-income products within the financial market. Therefore, the need for fair and accurate pricing of convertible and callable bonds increases. Where the convertible option can be considered as a right for the bondholder, the callable option is a right assigned to the bond issuer. Moreover, due to the hybrid nature of a convertible bond, it both contains characteristics of fixed income and equity products. As a consequence, both the risk of default and the possible equity profits need to be taken into account when valuing convertible bonds. Furthermore, as many convertible bonds also include a call option, an extra early exercise feature due to this call option needs to be taken into account. This early exercise option further increases the complexity of the valuation problem, as a possible buyback of the bond before maturity needs to be considered in the value of the bond. Computing a fair and accurate price for convertible and callable bonds, therefore gives rise to a complex valuation problem which leads to the need for further research. 
In this thesis, a structural default model is used to value callable convertible bonds. Contrary to reduced-form models, structural default models are characterized by the rationale behind the default event. Due to the better rationale and new insights into possible better market fits, structural default models have gained new interest in academic research. Recent research is conducted on finding new numerical techniques used for approximating the prices of complex financial products. This thesis discussed different valuation methods as proposed by Longstaff and Schwartz, Lord et al. and Oosterlee and Grzelak applied to the valuation of callable convertible bonds. In particular, a convolution-based method (CONV) and a cosine-based (COS) method are discussed. Whereas the Monte Carlo methods and the CONV method are already used in different articles, the COS method was not yet applied to the callable convertible bond valuation. As the COS method has been proven to be an efficient algorithm for approximating the values of financial derivatives, this thesis uses the COS method to compare its convergence to seek more insights into the convergence of the CONV method. Monte Carlo methods are used to verify the obtained approximations. 
For the problem considered under constant interest rates, this thesis shows that the COS method can be derived and applied. For small values of the grid size, the COS method showed to converge much faster than the CONV method. For larger values of the grid size, the CONV method showed to catch up with the COS method to become almost equally accurate. The results also showed that, contrary to the COS method, the CONV method was robust under the choice of the hyper-parameter concerning the integration grid. For the COS method, it was shown that a bad choice of the hyper-parameter could lead to a bad approximation. Although the two-dimensional CONV method shows to converge to the value obtained under Monte Carlo simulation, the results are still off for grid sizes of intermediate size. Results seem to indicate that the amount of grid points is not sufficient for the proposed integration interval and that therefore more grid points are needed. A greater amount of grid points, however, will also indicate a requirement for a greater amount of resources which may not always be available. 
From the results of the zero-coupon case, the COS method showed a more rapid convergence towards the approximations obtained by the Monte Carlo methods than the approximations obtained using the CONV method. Furthermore, when taking the hyper-parameters into account, the CONV method showed less robust features than the COS method in the two-dimensional case. Only for a small range of the hyper-parameters convergence is obtained for the CONV method. On the other hand, the COS method clearly shows convergence for a much wider range of hyper-parameters. ... Read more

In tegenstelling tot een Europese optie, is de prijs van een Amerikaanse optie vaak niet te berekenen met behulp van standaard analysemethoden. Om toch een optieprijs te kunnen bepalen, wordt er gebruik gemaakt van simulatiemethoden. In stochastische modellen, gebaseerd op zogenoemde arbitragevrije prijsbepalingen, is de optieprijs gelijk aan de verdisconteerde verwachtingswaarde van de maximale opbrengst over alle mogelijke uitoefenmomentenm van de optie onder de risico-neutrale maat. Het uitoefenmoment waarvoor de verdisconteerde verwachte opbrengst maximaal is, wordt gevonden door een optimale uitoefenstrategie te hanteren. Deze uitoefenstrategie kan worden bepaald met behulp van de continueringswaarden die horen bij de optie. Het bepalen van de prijs van een Amerikaanse optie draait om het vinden van de continueringswaarden. Longstaff & Schwartz [2001] veronderstellen dat de continueringswaarden kunnen worden beschreven door een functie. Het algoritme dat zij beschrijven, maakt gebruik van regressietechnieken voor het bepalen van een functiebenadering van de continueringswaardefunctie. Met behulp van deze functiebenadering kan een ondergrens voor de optieprijs benaderd worden. Omdat het evalueren van de optieprijs relatief veel rekentijd kost, willen we dat de gevonden ondergrens ook relatief nauwkeurig is. Dit motiveert het gebruik van variantie reductie methoden. Bolia et al. [2004] beschrijven in hun artikel een methode die gebruik maakt van importance sampling als techniek voor de reductie van de variantie. In een iteratief proces proberen zij een zogenoemde variantie-nul kansmaat te benaderen. Wanneer de optieprijs onder deze kansmaat wordt geëvalueerd, kan de optieprijs met variantie nul worden bepaald. Net als Longstaff & Schwartz [2001] veronderstellen Bolia, Glasserman en Juneja dat zowel de optiewaarde als de continueringswaarden kunnen worden benaderd met een functie. Net als in het algoritme van Longstaff & Schwartz [2001], worden deze functies benaderd aan de hand van regressiemethoden. De optiewaardefunctie kan vervolgens gebruikt worden bij het bepalen van een benadering van de eerder genoemde variantie-nul maat. Met de gevonden benaderde kansmaat kan een nieuwe optiewaardeen continueringswaardefunctie worden benaderd. Intuïtief volgt dat elke iteratie een nauwkeurigere benadering geeft van de continueringswaardefunctie. Wanneer er voldoende iteraties zijn uitgevoerd kan de optieprijs worden geëvalueerd onder de verbeterde strategie. Dit geeft een betere benadering voor de ondergrens van de optieprijs. In het verslag wordt het algoritme van Bolia et al. [2004] behandeld. Het project kent twee voornamelijke doelen. In de eerste plaats is het project gericht op het doorgronden van het algoritme. Hierbij is het de bedoeling dat het algoritme wordt beschreven voor derdejaars bachelor wiskundestudenten. Vanwege de hoeveelheid en ingewikkelde wiskunde achter het algoritme, is er gekozen om alleen de delen wiskunde te behandelen die noodzakelijk zijn voor het begrip van het algoritme. Het tweede doel binnen het project is het algoritme toepassen. Het verslag wordt dan ook afgesloten met een voorbeeld ter illustratie van het algoritme. In de gevonden resultaten treden discrepanties op met eerder gedaan onderzoek. Uit verschillende testen kan echter geen duidelijke fout in de implementatie van het algoritme worden aangewezen. ... Read more