In deze scriptie gaan we twee wiskundige objecten onderzoeken, het ultrafilter en de ultramacht. Zodra je in de wiskunde een nieuw object hebt bedacht zijn de eerste twee vragen die je stelt altijd 1) bestaat het? en 2) Als het bestaat, is het dan uniek, of zijn er meerdere? Nou is dat voor een ultrafilter relatief makkelijk te beantwoorden. In hoofdstuk 1 zijn we bezig om allerlei nuttige eigenschappen van het ultrafilter te onderzoeken. Voor een ultramacht echter is het wel duidelijk dat die bestaat, maar het kost nog veel werk om uit te vinden of er meerdere zijn. Bij dat antwoord speelt de Continuümhypothese een belangrijke rol. In de wiskunde is het duidelijk dat de natuurlijke getallen N en de reële getallen R verschillende soorten oneindig zijn. De Continuumhypothese stelt dat er geen enkele andere soort oneindigheid tussen N en R ligt. Het blijkt dat het antwoord op de vraag “Zijn er twee verschillende ultramachten?” precies samenhangt met of de Continuümhypothese waar is. Om tot dit antwoord te komen gaan we een eigenschap van ultramachten onderzoeken genaamd “gaten”. We kunnen dan bij verwerping van de Continuümhypothese twee ultramachten aanwijzen die verschillende gaten hebben en dus verschillend zijn. ... Read more