Landens transformatie
De verbinding tussen π, het RMG en de bètafunctie
A.B.L. Frank (TU Delft - Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science)
J.G. Spandaw – Mentor (TU Delft - Analysis)
Johan L.A. Dubbeldam – Graduation committee member (TU Delft - Mathematical Physics)
E.M. van Elderen – Graduation committee member (TU Delft - Mathematical Physics)
More Info
expand_more
Other than for strictly personal use, it is not permitted to download, forward or distribute the text or part of it, without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license such as Creative Commons.
Abstract
Eerst introduceren we het rekenkundig-meetkundig gemiddelde (RMG), een snel convergerend algoritme dat een verband heeft met π en nog veel meer constanten en functies. Hoffmann toont dit in een bewijs aan, echter is deze niet waterdicht en amper onderbouwd. Daarom gaan wij ons verdiepen in dit bewijs en met name een stap die twee ogenschijnlijk verschillende integralen aan elkaar gelijk stelt. Het blijkt dat hiervoor Landens transformatie gebruikt kan worden. Om hier op te komen en hem ook nog eens te bewijzen moeten we de wereld van elliptische functies induiken. We gaan vooral werken met de zogeheten thèta-functies die we grondig gaan onderzoeken. Vervolgens gaan we toewerken naar de Landen-transformatie-relaties die de basis zullen vormen voor Landens transformatie. Hiervoor moeten we veel eigenschappen en identiteiten aantonen. Dan stappen we over naar Jacobi's elliptische functies die de brug vormen naar elliptische integralen. Aan de hand van deze integralen en de Landen-transformatie-relaties kunnen we bewijzen dat het RMG inderdaad verborgen zit in een elliptische integraal van de eerste soort. Ook volgt hieruit dat er een verband is met π. Tot slot kijken we nog naar een aantal toepassingen van het RMG.