Een analytische en algebraïsche beschouwing van de Wilson- en Racahpolynomen

Bachelor thesis (2022)

Authors

D.W. Rozenbroek Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science

Contributors

W.G.M. Groenevelt Analysis - EEMCS (supervisor 1)
C.C.M.L. Wagenaar Analysis - EEMCS (supervisor 1)
C. Kraaikamp Applied Probability - EEMCS (supervisor 2)
Faculty
Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science
Copyright: © 2022 Dani Rozenbroek
More Info
expand_more

Published Date

08-07-2022

Language

Dutch

Reuse Rights

Other than for strictly personal use, it is not permitted to download, forward or distribute the text or part of it, without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license such as Creative Commons.

Faculty

Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science

Abstract

De Wilson- en Racahpolynomen zijn hypergeometrische orthogonale polynomen die helemaal bovenaan staan in het Askey-schema. Deze polynomen zijn de meest algemene hypergeometrische orthogonale polynomen in één variabele en generaliseren de andere hypergeometrische orthogonale polynomen in het Askey-schema.

In deze scriptie wordt ingegaan op twee specifieke eigenschappen van de Wilson- en Racahpolynomen: de drieterms recurrente betrekking en de orthogonaliteitsrelatie. Deze eigenschappen worden met analytische en algebraïsche methoden bestudeerd.

Bij de analytische methode wordt eerst algemene theorie van hypergeometrische functies en orthogonale polynomen bestudeerd. Er worden identiteiten, transformaties en aaneengesloten relaties voor hypergeometrische functies afgeleid. Hiermee kan de drieterms recurrente betrekking van de Wilson- en Racahpolynomen worden afgeleid. Met behulp van de residuenstelling van Cauchy en de theorie van hypergeometrische functies kan de orthogonaliteitsrelatie van beide polynomen worden verkregen.

Bij de algebraïsche methode wordt de Racah-Wilsonalgebra bestudeerd. De Racah-Wilsonalgebra voldoet aan een zogenaamde laddereigenschap waarmee een keten van eigenvectoren kan worden geconstrueerd. Hiermee is het mogelijk om een eindig dimensionale irreducibele representatie te krijgen. Door een inproduct te definiëren op de bases van eigenvectoren van de generatoren van Racah-Wilsonalgebra, kan met behulp van overlapcoëfficiënten een drieterms recurrente betrekking worden afgeleid. Door vervolgens enkele transformaties toe te passen, kan worden aangetoond dat deze drieterms recurrente betrekking overeenkomt met de drieterms recurrente betrekking van de Racahpolynomen. Ten slotte laten we met dit gekozen inproduct zien dat de Racahpolynomen orthogonale polynomen zijn.